地球的年齡

“地球的歷史有46億年。”這是連續劇《宇宙大爆炸》開頭曲的歌詞，各級教科書里也都是這樣講的。但是，有多少人想過地球的年齡是怎麼得到的？

要回答這個問題，就好像驗屍官判斷一具屍體的死亡時間一樣。屍體逐漸僵硬的程度，以及死者胃裡食物的消化程度都是驗屍官判斷的準繩。

那麼，這樣判斷的原理何在呢？測量地球的年齡又有哪些地方和驗屍官的方法是相似的呢？

開爾文勛爵的斷言

19世紀，著名物理學家開爾文勛爵（威廉.湯姆遜）有兩個結論在20世紀被“打了臉”。

在1900年（嚴格說來已經算20世紀了）開爾文勛爵在英國科學促進會上致辭，說：“物理學的大廈已經建立，後人只需要在上面添磚加瓦。”殊不知此後的數年至數十年間，相對論和量子力學就各自把經典物理學的大廈推翻了。

而在這幾十年前，開爾文勛爵還做過一件很有意義的工作，就是用熱力學模型估計地球的年齡。

他的散熱模型發展自傅里葉的熱傳導和擴散方程。比方說有一塊剛烤出來的蛋糕，傅里葉定律告訴我們，熱傳導率（k）固定時，蛋糕表面的熱流量（q）與溫度梯度（dT/dy）成正比：

或者說蛋糕從外面冷卻，散熱越快，冷的越深。就像正常人的體溫是36度左右，而屍體冷卻的速度基本是固定的，驗屍官根據屍體僵硬的程度就可以判斷死亡的時間。

開爾文勛爵的模型比這要複雜一些，他考慮了蛋糕在冷卻過程中逐漸形成的焦殼（熱邊界）。把焦殼的溫度定義為蛋糕剛烤出來溫度的十分之一，他推導出：

估計地球的初始溫度是4000攝氏度，再結合從古老礦坑（數公里深）測出的地熱梯度（dT/dy）大約每公里25度，以及實驗室測出的岩石熱擴散率κ = 1mm²s^-1和一定的不確定度，開爾文爵士估計地球的年齡大約是2400萬年到4億年。

“這塊蛋糕一摸還很燙呢！”開爾文勛爵說。

地質學家的兩難

開爾文勛爵1862年提出類似上述的計算，此時達爾文的相對論已經發表，地質學家們正在忙著把化石記錄按順序裝進地質歷史中去。但是現在要把幾十億年的地質歷史裝到幾億年甚至幾千萬年的框架中去，開爾文勛爵給他們的時間實在是太不夠了。

第一個意識到開爾文的模型有問題的是他的助手，北愛爾蘭人約翰.佩里。佩里提出一個假設，地球內部可能存在熱對流而不是簡單的熱傳導，熱對流能更有效地傳遞熱量。如果包括了熱對流過程，等效的熱擴散率(κ)就會變大。對於同樣的地表熱流值，需要降溫的時間(地球的年齡t)就會變長。

由前兩個公式可以得到，

其中，熱擴散率(κ)和熱傳導率（ k）、密度與比熱容的乘積（C）存在關係：

也就是說，如果蛋糕內部的熱流如此洶湧澎湃，不斷地把深處的熱量更有效率地帶到表層，那蛋糕的表面就不會冷漠地逐漸冷卻，而是觸摸著地球深處的脈搏而固定在一定的溫度區間。

這就好比，一個狡猾的兇手在屍體的胸腔里放一塊可以自己揮發掉的熱源，法醫不留神的話，還真的會把死亡時間估計錯呢。

又如果，這個蛋糕的焦殼不是鐵板一塊，而是時不時地裂開一塊，讓體內的熱氣拱出來一些，那開爾文勛爵摸到的溫度豈不是幻覺？

佩里對勛爵說：“你計算的假設是固體地球，就算是在10億年的尺度里，也是一成不變的。但是我們看得到礦坑的巷道會自己封閉上，還觀察到褶皺和斷層，說明地球是在持續受到應力作用的。雖然不像蠟那麼軟，但是10億年足夠長，所受到的力也足夠大了。”

到了20世紀中葉，隨著海底地磁測量的進展，以及板塊構造的發現，人們終於意識到，地球的表面確實並非鐵板一塊。而後來提出的地幔對流理論也解釋了，地球表面並非是以固定的速度冷卻，地幔對流能夠更好地利用內部物質由於釋放引力勢能而獲得的能量來補給地表的溫度。

放射性衰變的發現

故事還沒結束，1896年，法國物理學家貝克勒爾發現了放射性，而後續研究不僅揭示了放射性同位素在地質歷史中可以釋放大量的熱，而且用一些長半衰期的放射性同位素體系還能直接給地球測年，用古老礦物、岩石和隕石測出地球的年齡約為45.4億年。

而今天地表87 mW m^-2的熱流中，只有25%是由於地球冷卻造成的（21 mW m^-2），剩下的75%都是由於放射性衰變釋放的熱。

屍體里的熱源不都是兇手放的，死者死前吃的東西自己還在放熱，難怪驗屍官算不準！

看來開爾文勛爵囿於認知的有限，最終犯了兩個錯誤，沒有意識到地幔對流，以及沒有發現放射性衰變。

然而，勛爵將以物理為基礎的量化計算引入地質學的功績還是不可抹殺的，19世紀的地質學家們只能通過化石賦存地層的相互位置關係，判別化石年齡的相對順序，而對“地球的年齡到底是多少？”這樣的絕對問題，他們就束手無策了。

而無論是熱力學計算，還是放射性衰變，其基礎都是物理學的進步。積木式創新就是如此，不怕錯，怕的是邁不出第一步。

致謝

感謝內華達大學地球科學與工程學院助理教授曹文融對本文提供材料以及耐心討論和斧正。

參考文獻

1.   Turcotte, D.L., and Schubert, G., 2002, Geodynamics: Cambridge, Cambridge University Press.

2.   England, P, P Molnar, and F Richter. 2007. “John Perrys Neglected Critique of Kelvins Age for the Earth: A Missed Opportunity in Geodynamics.” GSA Today 17 (1): 4–9.

3.   England, PC, P Molnar, and FM Richter. 2007. “Kelvin, Perry and the Age of the Earth.” AMERICAN SCIENTIST 95 (4): 342–49.

（作者：尹莉華 池涵）